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[數值分析] 解帶狀線性系統 Ax=r


解線性系統 Ax=r 是對於給定的 r帶狀矩陣
解向量 x.

主要分成三個步驟

1. LU 分解 - 計算 A 的 L, U 矩陣元素.

其中










實際上只要計算 L 的對角與 u1, u2, ..., u(n-1) 即可. 因為 LU=A 因此我們可以依照以下順序
解出所有的未知數, 同時完成了計算 L 與 U 兩矩陣.

2. 計算向量 z - 假設 z=Ux, 所以 r=Ax=( LU )x=L( Ux )=Lz.

由於我們目的是求向量 x, 所以先解得 Lz=rz, 然後就可以解 Ux=zx.

首先由 Lz=r 我們知道
因此 z 的元素可以由上而下如下解得

3. 計算向量 x - 解線性系統 Ux=z.

從向量形式來看
因為 z, U 已知, 所以我們可以解出 x 元素. 注意!是由下而上

See also:
*. Solving Ax=b in LU Factorization( for Band Matrix A)
*. Iteration Method for Ax=b
*. Nonlinear Shooting with Newton's Method
*. Taylar and Finite Difference of BVP
*. Newton's Method
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