關於部落格
  • 124794

    累積人氣

  • 23

    今日人氣

    0

    追蹤人氣

BVP的非線性射擊法

由於到目前為止我們只知道如何解 IVP
(初始值問題, 可參考
二階微分方程組, 連結)

->想一個可以達到此目的的 IVP 解法

想法: 使之初始值(initial value, y(a))相同, 假設初始斜率(y'(a))為未知的 t, 則我們得到以下初始條件:
這個假設的 IVP 的解, y, 將與 t 有關, 記為 y(x,t).

目的:求 t 使得 y(x,t)=y(x).

Remark
對一可為分函數 g, 欲解其零根, 也就是說

找 t 使得 g(t)=0.
 
我 們可以使用牛頓法, Newton's Method:

回到問題, 假設
則藉由牛頓法我們有以下公式. [注意, 這是最終的目的!]

 
如此一來便可以求 t 了. 其中分子部份 y(b,t)=y(b) 可以由原始假設的 IVP 求得.

對於分母的
從微分方程式(ODE)得知
核對後來假設的 IVP 得
接著作這樣一個轉換
我們變得到以下的另一個 IVP:
流程:牛頓法
重複執行

  1.從 IVP 解 y(x,t_k) 取得 y(b,t_k) 的值
  2.從另一個 IVP 解 z(x,t_k) 取得 z(b,t_k) 的值
  3.用牛頓法公式取得新的 t_k+1

直到牛頓法收斂為止

See also:
*. Solving Ax=b in LU Factorization( for Band Matrix A)
*. Iteration Method for Ax=b
*. Nonlinear Shooting with Newton's Method
*. Taylar and Finite Difference of BVP
*. Newton's Method

相簿設定
標籤設定
相簿狀態